Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，， 平面，，，，，且是的中點(diǎn).

  （Ⅰ）求證：平面；

  （Ⅱ）求二面角的大小；

  （Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接.

在△中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260115111053327640_DA.files/image008.png">，

  所以且.

所以四邊形為平行四邊形，

所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260115111053327640_DA.files/image013.png">平面，平面，

 故平面.                                      …………… 4分

解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260115111053327640_DA.files/image017.png">平面，，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.            ……………1分                                             

由已知可得

（Ⅰ），  .       ……………2分

設(shè)平面的一個(gè)法向量是.

  由得  

令，則.                                ……………3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260115111053327640_DA.files/image032.png">，

  所以，又平面，所以平面.       ……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個(gè)法向量是.

    因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260115111053327640_DA.files/image017.png">平面，所以.

        又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260115111053327640_DA.files/image019.png">，所以平面.

     故是平面的一個(gè)法向量.

      所以，又二面角為銳角，

      故二面角的大小為.                            ……………10分

 （Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得與所成的角為.

      不妨設(shè)（），則.

   所以，

   由題意得，

    化簡(jiǎn)得，

         解得.

        所以在線段上不存在點(diǎn)，使得與所成的角為.…………14分

【解析】略