Question

形狀如圖所示的三個(gè)游戲盤(pán)中（圖1是正方形，M、N分別是所在邊中點(diǎn)，圖2是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心，圖3是正六邊形，點(diǎn)P為其中心）各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤(pán)后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒(méi)有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，可求概率；
（II）確定ξ可能的取值為1，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解答：解：（I）“一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分”分別記為事件A₁、A₂、A₃，由題意知，A₁、A₂、A₃互相獨(dú)立，且P（A₁）=，P（A₂）=，P（A₃）=，…（3分）
∴P（A₁ A₂ A₃）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）=
（II）一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的小球沒(méi)有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3，則
P（ξ=3）=P（A₁ A₂ A₃）+P（）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）+P（）P（）P（）
=，
P（ξ=1）=1-=．
所以分布列為

ξ	1	3
P

數(shù)學(xué)期望Eξ=1×+3×=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．