【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形,,.的中點,底面在平面上的正投影為點,延長于點.

(1)求證:中點;

(2)若,,在棱上確定一點,使得平面,并求出與面所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:

(1)連接OE,可得四邊形BCDO是平行四邊形,由PO⊥底面ABCD.O在平面PAD上的正投影為點H,可得AD⊥OE,AO=OD,即可得EAD中點;(2)以O為原點建立空間直角坐標系,設(shè),∴,∴,是平面PAB的法向量,求出面PCD的法向量,即可求得OG與面PCD所成角的正弦值.

詳解:(1)連結(jié),∵,中點,,

,∵,∴四邊形是平行四邊形,∴

平面,平面,∴,

在平面的正投影為,∴平面,∴,

又∵,∴平面,∴,

又∵,∴的中點.

(2)∵,,∴,∵平面,

∴以為原點,,分別為的正方向建立空間直角坐標系,

,,,∵,

,∴的外心,∵,

的重心,∴,

設(shè),∴,∴

又∵是平面的一個法向量,且平面,

,∴,解得,∴,

設(shè)是平面的法向量,∵,

,即,取,則,,∴

,∴直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中,分別為,的中點,,如圖1.以為折痕將折起,使點到達點的位置,如圖2.

如圖1 如圖2

(1)證明:平面平面;

(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值。

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【題目】已知數(shù)列的前項和.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)求數(shù)列的前項和.

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【題目】已知點,過點作與軸平行的直線,點為動點在直線上的投影,且滿足.

(1)求動點的軌跡的方程;

(2)已知點為曲線上的一點,且曲線在點處的切線為,若與直線相交于點,試探究在軸上是否存在點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.

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【題目】某玩具廠生產(chǎn)出一種新型兒童泡沫玩具飛機,為更精確的確定最終售價,該廠采用了多種價格對該玩具飛機進行了試銷,某銷售點的銷售情況如下表:

單價(元)

8

9

10

11

12

銷量(架)

40

36

30

24

20

從散點圖可以看出,這些點大致分布在一條直線的附近,變量,有較強的線性相關(guān)性.

(1)求銷量關(guān)于的回歸方程;

(2)若每架該玩具飛機的成本價為5元,利用(1)的結(jié)果,預(yù)測每架該玩具飛機的定價為多少元時,總利潤最大.(結(jié)果保留一位小數(shù))

(附:,,,.)

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【題目】已知函數(shù),,.

(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;

(2)已知上單調(diào)遞減,求實數(shù)k的取值范圍.

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【題目】某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為三級過濾,使用壽命為十年.如圖所示,兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝,二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝。

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)。在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立),三級濾芯無需更換,若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個元,二級濾芯每個元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯,則一級濾芯每個元,二級濾芯每個元。現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中圖是根據(jù)個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖,表是根據(jù)個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表.

二級濾芯更換頻數(shù)分布表

二級濾芯更換的個數(shù)

頻數(shù)

個一級過濾器更換濾芯的頻率代替個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為的概率;

(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(3)記,分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定,的值.

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【題目】已知以點CtR,t0)為圓心的圓與x軸交于點O和點A,與y軸交于點O和點B,其中O為原點.

1)求證:OAB的面積為定值;

2)設(shè)直線y=-2x4與圓C交于點M,N,若OMON,求圓C的方程.

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【題目】已知雙曲線的右頂點到其一條漸近線的距離等于,拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則拋物線上的動點到直線距離之和的最小值為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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