Question

己知函數f（x）=lnx-lna，g（x）=ae^x，其中a為常數，函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
（1）求函數F（x）=f（x）-g（x-1）的單調區(qū)間；
（2）若不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由函數f（x）=lnx-lna，g（x）=ae^x，我們可以求出函數y=f（x）的圖象與Y軸的交點和y=g（x）的圖象與X軸交點的坐標，求出兩個函數的導函數后，根據函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，即兩函數在交點處的導數值相等，構造關于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，則xlnx-k（x²-1）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，構造函數，分類討論，確定函數的單調性，即可求實數k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g（x）=ae^x，
∴g′（x）=ae^x，函數g（x）=ae^x只于Y軸交于（0，a），且g′（0）=a
又∵f（x）=lnx-lna，
∴f′（x）=

1

x

，
又∵函數f（x）=lnx-lna只于X軸交于（a，0）點
∴f′（a）=

1

a

又∵函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
∴a=1
∴F（x）=lnx-e^x-1，
∴F′（x）=

1-xex-1

x

，
令h（x）=1-xe^x-1，則h（x）在（0，+∞）上單調遞減，且h（1）=0，
∴（0，1）上h（x）＞0，F′（x）＞0，函數單調遞增；
（1，+∞）上h（x）＜0，F′（x）＜0，函數單調遞減，
∴函數F（x）=f（x）-g（x-1）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，則xlnx-k（x²-1）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=xlnx-k（x²-1）（x≥1），則φ′（x）=lnx+1-2kx，
令u（x）=lnx+1-2kx，則u′（x）=

1-2kx

x

①k≤0，u′（x）＞0，φ′（x）在[1，+∞）上單調遞增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函數單調遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，不合題意，舍去；
②0＜k＜

1

2

，x∈（1，

1

2k

），u′（x）＞0，φ′（x）在（1，

1

2k

）上單調遞增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函數單調遞增，∴φ（x）≥φ（1）=0，不合題意，舍去；
③k≥

1

2

，u′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，φ′（x）在[1，+∞）上單調遞減，φ′（x）φ′（1）=1-2k≤0，函數單調遞減，
∴φ（x）≤φ（1）=0，即xlnx-k（x²-1）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴k的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合應用，直線平行與斜率的關系，導數法求直線的斜率，函數恒成立問題，其難度大．