Question

已知f（x）=

m

x+1

+nlnx（m，n為常數(shù)）在x=1處的切線為x+y-2=0．
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若任意實數(shù)x∈[

1

e

，1]，使得對任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的解析式，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知，f（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，f（x）在[

1

e

，1]上的最小值為f（1）=1，只需t³-t²-2at+2≤1，即2a≥t²-t+

1

t

對任意的t∈[

1

2

，2]恒成立，
令g（t）=t²-t+

1

t

，利用導數(shù)求得g（t）的最大值，列出不等式即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

m

x+1

+nlnx定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，
∴f′（1）=-

m

4

+n=1，
把x=1代入x+y-2=0可得y=1，∴f（1）=

m

2

=1，
∴m=2，n=-

1

2

，
∴f（x）=

2

x+1

-

1

2

lnx，f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

，
∵x＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞），無遞增區(qū)間．
（2）由（1）可知，f（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[

1

e

，1]上的最小值為f（1）=1，
∴只需t³-t²-2at+2≤1，即2a≥t²-t+

1

t

對任意的t∈[

1

2

，2]恒成立，
令g（t）=t²-t+

1

t

則g′（t）=2t-1-

1

t2

=

2t3-t2-1

t2

，
∵t∈[

1

2

，2]，∴2t³-t²-1=（t-1）（2t²+t+1），
∴在t∈[

1

2

，1]上g（t）單調(diào)遞減，在[1，2]上g（t）單調(diào)遞增，
又g（

1

2

）=

7

4

，g（2）=

5

2

，
∴g（t）在[

1

2

，2]上的最大值是

5

2

，
∴只需2a≥

5

2

，即a≥

5

4

，
∴實數(shù)a的取值范圍是[

5

4

，+∞）．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等知識，考查學生恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力，屬于難題．