已知f(x)=ax3+bx2-3x+
1
3
,f(2)=-7,f′(2)=-3,g(2)=1,g′(2)=-
1
2

(1)求函數(shù)f(x)在[-4,4]的最大值和最小值;
(2)設(shè)h(x)=
f(x)+5
g(x)
,求曲線y=h(x)在點(2,h(2))處的切線l的方程,并判斷l(xiāng)是否與曲線y=f(x)相切,請說明理由.
分析:(1)由f(2)=-7,f′(2)=-3,則可得到a,b關(guān)系式,即可解出a與b的值,進而得到函數(shù)f(x)的極值點,得到函數(shù)在[-4,4]的最大值和最小值;
(2)由題意得到h(2)=-2,h′(x)=
f′(x)g(x)-[f(x)+5]g′(x)
g2(x)
,從而得到k=h′(2)=-4,由直線方程點斜式得到切線方程,若設(shè)切點為(x0,y 0),則有k=x02-2x0-3=-4,解出x0,求出(x0,y 0)=(1,-
10
3
)
不在直線l上,即得結(jié)論.
解答:解:(1)由f(x)=ax3+bx2-3x+
1
3
,得f'(x)=3ax2+2bx-3,
∵f(2)=-7,f′(2)=-3,
8a+4b-6+
1
3
=-7
12a+4b-3=-3
,解得
a=
1
3
b=-1

f(x)=
1
3
x3-x2-3x+
1
3
.  
則f′(x)=x2-2x-3,令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
列表如下:
x -4 (-4,-1) -1 (-1,3) 3 (3,4) 4
f′(x) / + 0 - 0 + /
f(x) -25 2 -
26
3
-
19
3
由上表知,fmin(x)=-25,fmax(x)=2.
(2)由h(x)=
f(x)+5
g(x)
,得h(2)=
f(2)+5
g(2)
=
-7+5
1
=-2

h(x)=
f′(x)g(x)-[f(x)+5]g′(x)
g2(x)
,
∴切線斜率k=h(2)=
f′(2)g(2)-[f(2)+5]g′(2)
g2(2)
=
-3×1-[(-7)+5]×(-
1
2
)
1
=-4
,
∴所求切線方程為y-(-2)=-4(x-2),即4x+y-6=0.
設(shè)直線l與曲線y=f(x)相切于點(x0,y 0),
由(1)得,過該切點的切線斜率為k=x02-2x0-3=-4,
解得x0=1,∴f(x0)=-
10
3

∵點(1,-
10
3
)
不在直線l:4x+y-6=0上,
∴直線l與曲線y=f(x)不相切.
點評:本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在(a,b)內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f(a),f(b) 比較而得到的.同時考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,考查了運算能力,屬于中高檔題.
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