【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為1,求實數(shù)a的取值范圍;(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(3)若 上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f'(x)= (x>0)

∴f'(x)>0x>a,f'(x)<00<x<a

∴f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,

在(a,+∞)上單調(diào)遞增


(2)解:∵x∈[1,e]

∴當(dāng)a≤1時,f'(x)≥0,

∴f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,

故f(x)min=f(1)=a=1

滿足題意

當(dāng)a≥e時,f'(x)≤0,

a=0(舍去)

當(dāng)1<a<e時,由(1)知f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,

在(a,e)上單調(diào)遞增,

故f(x)min=f(a)=lna+1=1a=1(舍去)

綜上所述,a=1


(3)解:f(x)< x在(1,+∞)上恒成立a< ﹣xlnx在(1,+∞)上恒成立

g'(x)=x﹣lnx﹣1

令h(x)=x﹣lnx﹣1h'(x)

=1﹣

當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)>0

故h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以h(x)>h(1)=0

,

所以a≤


【解析】(1)由f'(x)= (x>0),能推導(dǎo)出f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)由x∈[1,e],知當(dāng)a≤1時,f'(x)≥0,故f(x)min=f(1)=a=1;當(dāng)a≥e時,f'(x)≤0,推導(dǎo)出a=0(舍去);當(dāng)1<a<e時,推導(dǎo)出a=1(舍去).綜上所述,a=1.(3)f(x)< x在(1,+∞)上恒成立a< ﹣xlnx在(1,+∞)上恒成立. ,g'(x)=x﹣lnx﹣1.h(x)=x﹣lnx﹣1,h'(x)=1﹣ .由此進(jìn)行分類討論,能求出實數(shù)a的取值范圍.

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