已知i，m，n是正整數(shù)，且1<i≤m<n．

求證：(1)ni<mi；

(2)(1＋m)·n>(1＋n)·m．

 

答案：
解析：

求證：(1)ni<mi；

(2)(1＋m)·n>(1＋n)·m．

證明：(1)對于1<i≤m，有

＝m(m-1)…(m-i＋1),

=··…·，

同理=··…·．

由于m<n，對整數(shù)k＝1，2，…，i-1，

有>，所以>，即mi·>ni·．

(2)由二項式定理，有

(1＋m)n=1＋·m＋…＋mi＋…＋·mn．

(1＋n)m=1＋·n＋…＋ni＋…＋·nm．

由(1)知優(yōu)(1<i≤m<n)，

而=，=，∴mi·>ni·(1<i≤m<n)．

又1＋=1＋·n，∴(1＋m)n>(1＋n)m．

 


練習(xí)冊系列答案
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已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．
（1）證明niPmi＜miPni；
（2）證明（1+m）n＞（1+n）m．

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（01全國卷理） (12分)

    已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．

    (Ⅰ)證明；

(Ⅱ)證明(1＋m) n＞ (1＋n) m．

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(1)證明：niA＜miA；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m

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已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．
（1）證明niPmi＜miPni；
（2）證明（1+m）n＞（1+n）m．

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