Question

求函數(shù)f（x）=

ax

ax2+1

，x∈（0，1]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）=

ax

ax2+1

=

a

ax + 1 x

且a＞-1，分類討論a的不同取值范圍，從而求函數(shù)的值域．

解答： 解：∵x∈（0，1]，
∴f（x）=

ax

ax2+1

=

a

ax + 1 x

且ax+

1

x

＞0在（0，1]上恒成立，
∴a＞-1，
①當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，
∵ax+

1

x

在（0，1]單調(diào)遞減，
∴ax+

1

x

≥1+a＞0，
∴

a

1+a

≤

ax

ax2+1

＜0，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬

a

1+a

，0）；
②當(dāng)α=0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋簕0}；
③當(dāng)0＜α＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴0＜f（x）≤

a

1+a

，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋海?，

a

1+a

]；
④當(dāng)a≥1時(shí)，ax+

1

x

≥2

a

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

a

時(shí)，等號(hào)成立），
∴0＜

ax

ax2+1

≤

a

2

，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋海?，

a

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域的求法，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于難題．