Question

1．已知a＞1，x≥1，y≥1，且log_a²x+log_a²y=log_a（a⁴x⁴）+log_a（a⁴y⁴），則log_a（xy）的取值范圍是[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界限求解．

解答 解：由題意：log_a²x+log_a²y=log_a（a⁴x⁴）+log_a（a⁴y⁴），
化簡(jiǎn)可得：log_a²x-4log_ax+log_a²y-4log_ay=8
令m=log_ax，n=log_ay，則有：∵n²+m²-4m-4n=8．
log_a（xy）=n+m．
∵a＞1，x≥1，y≥1，
∴n≥0，m≥0，
∵n²+m²-4m-4n=8．
⇒（n-2）²+（m-2）²=4²表示為（2，2）為圓心，半徑為4的圓．
令m+n=Z，（Z≥0），則n+m-Z=0．
數(shù)形結(jié)合法：如圖：當(dāng)直線m+n-Z=0過(guò)B點(diǎn)或A點(diǎn)時(shí)最�。�
當(dāng)直線m+n-Z=0過(guò)C點(diǎn)時(shí)最大．
可知：A（2$\sqrt{3}-2$，0）
故得Z_min=2$\sqrt{3}-2$，即為log_a（xy）_min=$2\sqrt{3}-2$．
過(guò)C點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切，d=r=4=$\frac{|4-Z|}{\sqrt{2}}$
解得：Z_max=$4+4\sqrt{2}$，即為log_a（xy）_max=$4+4\sqrt{2}$．
所以：log_a（xy）的取值范圍是[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．
故答案為：[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算和圓與直線的位置關(guān)系．屬于中檔題．