Question

若動點P在直線l₁：x-y-2=0上，動點Q在直線l₂：x-y-6=0上，設(shè)線段PQ的中點為M（x₀，y₀），且滿足(x0-2)2+(y0+2)2≤8，則x02+y02的取值范圍是（　　）

• A．[2

  2

  ，4]
• B．[2

  2

  ，2

  3

  ]
• C．[8，12]
• D．[8，16]

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得PQ的中點M在與l₁、l₂平行，且到l₁、l₂距離相等的直線l上，算出該直線的方程為x-y-4=0．由(x0-2)2+(y0+2)2≤8，得到點M在圓C：(x -2)2+(y +2)2=8內(nèi)部或在圓C上，從而點M在直線l被圓C截得的線段AB上運動．再根據(jù)x02+y02=|OM|²，利用兩點間的距離公式加以計算，可得x02+y02的取值范圍．

解答：解：∵直線l₁：x-y-2=0與直線l₂：x-y-6=0互相平行，
動點P在直線l₁上，動點Q在直線l₂上，
∴PQ的中點M在與l₁、l₂平行，且到l₁、l₂距離相等的直線上，
設(shè)該直線為l，方程為x-y+m=0，
由

|m+2|

2

=

|m+6|

2

解得m=-4，可得直線l方程為x-y-4=0，
∵點M（x₀，y₀）滿足(x0-2)2+(y0+2)2≤8，
∴點M在圓C：(x -2)2+(y +2)2=8內(nèi)部或在圓C上，
因此，設(shè)直線l交圓C于A、B，可得點M在線段AB上運動．
∵x02+y02=|OM|²，
∴運動點M，當(dāng)M與A或B重合時，|OM|達(dá)到最大值，當(dāng)M與圓心C重合時，OC⊥AB，|OM|達(dá)到最小值．
∵A（0，-4），B（4，0），C（2，-2），
∴x02+y02的最小值為2 2+(-2) 2=8；x02+y02的最大值為16．
故x02+y02的取值范圍是[8，16]．
故選：D

點評：本題考查了平行線間的距離公式、兩點間的距離公式、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．