Question

設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，則不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(  )

A．(－3,0)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪ (0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(0,3)

Answer 1

D

解析試題分析：設F（x）="f" （x）g（x），當x＜0時，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在當x＜0時為增函數(shù)．
∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g （x）=-F（x）．
故F（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．
∴F（x）在（0，∞）上亦為增函數(shù)．
已知f(－3)·g(－3)＝0，必有F（-3）=F（3）=0．
構造如圖的F（x）的圖象，

可知F（x）＜0的解集為x∈（-∞，-3）∪（0，3）．
考點：本試題主要考查了復合函數(shù)的求導運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負之間的關系．
點評：導數(shù)是一個新內(nèi)容，也是高考的熱點問題，要多注意復習．解決該試題的關鍵是先根據(jù)f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在x＜0時遞增。