Question

設(shè)曲線C₁：（a為正常數(shù)）與C₂：y²=2（x+m） 在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點(diǎn)，若C₁與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0＜a＜時(shí)，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立方程，組成方程組，問題轉(zhuǎn)化為方程x²+2a²x+2a²m-a²=0在x∈（-a，a）上有唯一解或等根，再討論三種情況，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）分類討論，表示出△OAP的面積，比較兩個(gè)面積的大小關(guān)系，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由消去y得，x²+2a²x+2a²m-a²=0．              ①
設(shè)f（x）=x²+2a²x+2a²m-a²，問題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只須討論以下三種情況：
1°△=0得m=，此時(shí)x_p=-a²，當(dāng)且僅當(dāng)-a＜-a²＜a，即0＜a＜1時(shí)適合；
2°f（a）•f（-a）＜0當(dāng)且僅當(dāng)-a＜m＜a；
3°f（-a）=0得m=a，此時(shí) x_p=a-2a²，當(dāng)且僅當(dāng)-a＜a-2a²＜a，即0＜a＜1時(shí)適合．
f（a）=0得m=-a，此時(shí) x_p=-a-2a²，由于-a-2a²＜-a，從而m≠-a．
綜上可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，m=或-a＜m≤a；當(dāng)a≥1時(shí)，-a＜m＜a．
（2）△OAP的面積S=ay_p．
∵0＜a＜，∴-a＜m≤a時(shí)，，由唯一性得x_p=．
顯然當(dāng)m=a時(shí)，x_p取值最�。�
由于x_p＞0，從而取值最大，此時(shí)y_p=2，∴S=a．
當(dāng)m=時(shí)，x_p=-a²，y_p=，此時(shí)S=a．
下面比較a與a的大�。�
令a=a，得a=．
故當(dāng)0＜a≤時(shí)，，此時(shí)S_max=．
當(dāng)＜a＜時(shí)，，此時(shí)S_max=a．…（20分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．