Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）兩點，曲線C上的動點P滿足|PF1|+|PF2| =

3

2

|F1F2|．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l經過點M（0，3），交曲線C于A，B兩點，且

MA

=

1

2

MB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點，長軸長為6的橢圓，由引能夠求出橢圓的方程．
（Ⅱ）方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可知A為MB的中點，由中點坐標公式結合題設條件能夠求出直線l的方程．
方法二：依題意，設直線l的方程為y=kx+3．由

y=kx+3 x2 9 + y2 5 =1

得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞

4

9

．再由根與系數(shù)的關系能夠求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =

3

2

|F1F2| =6＞|F₁F₂|=4，
故曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點，長軸長為6的橢圓，其方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可知A為MB的中點，
則有

x12 9 + y12 5 =1，? (1) x22 9 + y22 5 =1，?(2) 2x1=x2，??   (3) 2y1=y2+3．? (4)

將（3）、（4）代入（2）得

4x12

9

+

(2y1-3)2

5

=1，整理為

4x12

9

+

4y12

5

-

12

5

y1+

4

5

=0．
將（1）代入上式得y₁=2，再代入橢圓方程解得x1=±

3

5

，
故所求的直線方程為y=±

5

3

x+3．
方法二：依題意，直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+3．
由

y=kx+3 x2 9 + y2 5 =1

得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞

4

9

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-54k

5+9k2

，①x1x2=

36

5+9k2

．②
因為

MA

=

1

2

MB

，所以A為MB的中點，從而x₂=2x₁．
將x₂=2x₁代入①、②，得x1=

-18k

5+9k2

，x12=

18

5+9k2

，
消去x₁得(

-18k

5+9k2

)2=

18

5+9k2

，
解得k2=

5

9

，k=±

5

3

．
所以直線l的方程為y=±

5

3

x+3．

點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，解題時要注意培養(yǎng)計算能力的、分析能力和解題能力．