Question

如圖，底面ABC為正三角形，EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，EA=AB=2DC=2a，設(shè)F為EB的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求直線AD與平面AEB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）過F作FH∥EA交AB于H，連接HC，由已知中EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，我們根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得EA∥DC∥FH，進(jìn)而得到四邊形CDFH是平行四邊形，則DF∥HC，再由線面平行的判定定理即可得到DF∥平面ABC；
（2）由△ABC為正三角形，H為AB中點(diǎn)，EA⊥面ABC，利用等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得CH⊥AB，CH⊥EA，再由線面垂直的判定定理可得CH⊥面EAB，結(jié)合DF∥CH，可得DF⊥面EAB，則∠DAF為直線AD與平面AEB所成角，解RT△AFD即可得到直線AD與平面AEB所成角的正弦值．

解答：解：（1）證明：（1）過F作FH∥EA交AB于H，連接HC，
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EA∥DC，
又∵FH∥EA，
∴FH∥DC
而F是EB的中點(diǎn)，
∴FH=

1

2

AE=DC
所以四邊形CDFH是平行四邊形，
∴DF∥HC，
又HC?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．（6分）
（2）△ABC為正三角形，H為AB中點(diǎn)，
∴CH⊥AB，
∵EA⊥面ABC，CH?面ABC，
∴CH⊥EA，EA∩AB=A，EA，AB?面EAB，
∴CH⊥面EAB，
∵DF∥CH，
∴DF⊥面EAB，
∴AF為DA在面EAB上的射影，
所以∠DAF為直線AD與平面AEB所成角，（12分）
在RT△AFD中，AF=

2

a，AD=

5

a，DF=

3

a，sin∠FAD=

15

5

，
所以直線AD與平面AEB所成角的正弦值為

15

5

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得DF∥HC，（2）的關(guān)鍵是證得∠DAF為直線AD與平面AEB所成角．