如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點.

（1）求證：FD∥平面ABC；

（2）求證：AF⊥BD；

 (3) 求二面角B—FC—G的正切值.

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）


解析:

證：(1)∵F、G分別為EB、AB的中點，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

    ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F為EB中點，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

         （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.

易求.

練習(xí)冊系列答案
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（2013•青島一模）如圖，幾何體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=
2
a，E為CC1的中點，F(xiàn)為AB的中點．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．

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（1）求證：FD∥平面ABC；
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2
a，E為CC1的中點．
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如圖，幾何體ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為EB何AB的中點．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

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（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．

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