已知圓直線與圓相切,且交橢圓兩點,是橢圓的半焦距,,

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)O為坐標原點,若求橢圓的方程;

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,設(shè)橢圓的左右頂點分別為A,B,動點,直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點,求線段MN的長度的最小值.

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)橢圓的方程為;(Ⅲ).

【解析】

試題分析:(Ⅰ)直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑.設(shè)圓的圓心為半徑分別為,直線的方程為.若直線與圓相切,則圓心到直線的距離,將已知條件代入這個公式,即可得的值.

(Ⅱ)將代入得:得關(guān)于的二次方程.設(shè)是這個方程的兩個根.因為,所以,再結(jié)合韋達定理,可得一個含的等式,與聯(lián)立解方程組即可求得的值.

(Ⅲ)思路一、在(Ⅱ)的條件下,橢圓的方程為:,動點,則將其代入橢圓方程,便得:①.設(shè),,則.兩式相乘再利用①式可消去,再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.

思路二、選定一個量作為變量,其余的量都用這個量來表示,最終用這個量表示出線段MN的長度.

那么選哪 一個量作為變量呢?顯然直線AS的斜率存在,設(shè)為,然后用表示出點的坐標,從而表示出線段MN的長度. 再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.

試題解析:(Ⅰ)直線與圓相切,所以   4分

(Ⅱ) 將代入得:

得:         ①

設(shè)

    ②

因為

由已知代人②

所以橢圓的方程為                               8分

(Ⅲ)法一、在(Ⅱ)的條件下,橢圓的方程為:,將動點的坐標代入橢圓方程,便得:                      ①

設(shè),,則.兩式相乘得      ②

由①得:,代入②得:,顯然異號.

所以線段MN的長度,當時取等號.

法二、顯然直線AS的斜率存在,設(shè)為

依題意,由得:

設(shè)

,又B(2,0)所以  BS:

 

所以時:                                 12分

考點:1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線;3、函數(shù)的最值.

 

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AB
上,則圓C2的最大面積為為
π
π

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(Ⅰ)求動圓圓心C的軌跡M的方程;

(II)斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點P,過點P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點A(0,6),并交軌跡M于異于點P的點Q,記為軌跡M與直線PQ圍成的封閉圖形的面積,求的值.

 

 

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