已知圓直線與圓相切,且交橢圓于兩點,是橢圓的半焦距,,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)O為坐標原點,若求橢圓的方程;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,設(shè)橢圓的左右頂點分別為A,B,動點,直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點,求線段MN的長度的最小值.
(Ⅰ);(Ⅱ)橢圓的方程為;(Ⅲ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑.設(shè)圓的圓心為半徑分別為,直線的方程為.若直線與圓相切,則圓心到直線的距離,將已知條件代入這個公式,即可得的值.
(Ⅱ)將代入得:得關(guān)于的二次方程.設(shè)則是這個方程的兩個根.因為,所以,再結(jié)合韋達定理,可得一個含的等式,與聯(lián)立解方程組即可求得的值.
(Ⅲ)思路一、在(Ⅱ)的條件下,橢圓的方程為:,動點,則將其代入橢圓方程,便得:①.設(shè),,則.兩式相乘再利用①式可消去得,再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
思路二、選定一個量作為變量,其余的量都用這個量來表示,最終用這個量表示出線段MN的長度.
那么選哪 一個量作為變量呢?顯然直線AS的斜率存在,設(shè)為且,然后用表示出點的坐標,從而表示出線段MN的長度. 再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
試題解析:(Ⅰ)直線與圓相切,所以 4分
(Ⅱ) 將代入得:
得: ①
設(shè)則
②
因為
由已知代人②
所以橢圓的方程為 8分
(Ⅲ)法一、在(Ⅱ)的條件下,橢圓的方程為:,將動點的坐標代入橢圓方程,便得: ①
設(shè),,則.兩式相乘得 ②
由①得:,代入②得:,顯然異號.
所以線段MN的長度,當時取等號.
法二、顯然直線AS的斜率存在,設(shè)為且則
依題意,由得:
設(shè)則即
,又B(2,0)所以 BS:
由
所以時: 12分
考點:1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線;3、函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
AB |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省保定市高三上學期期末調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,直線與圓相切,則是的
A.充分非必要條件 B 必要非充分條件.
C充要條件 D.既非充分也非必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年陜西省西安市五校聯(lián)考高三第一次模擬考試理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知圓C1的方程為,定直線l的方程為.動圓C與圓C1外切,且與直線l相切.
(Ⅰ)求動圓圓心C的軌跡M的方程;
(II)斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點P,過點P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點A(0,6),并交軌跡M于異于點P的點Q,記為軌跡M與直線PQ圍成的封閉圖形的面積,求的值.
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