Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2，且n∈N*）．
（1）設(shè)bn=

an+3

2n

(n∈N*)，證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義證明b_n+1-b_n=常數(shù)．
（2）由（1）得b_n是等差數(shù)列所以得到a_n=（n-1）•2ⁿ-3，再利用錯位相減求數(shù)列{（n-1）•2^n_}的前n 項的和T_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的前n項和為
S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹-3n

解答：【解】（1）由題意的
∵bn+1-bn=

an+1+3

2n+1

-

an+3

2n

=

1

2n+1

[(an+1-2an)-3]
=

1

2n+1

[(2n+1+3)-3]=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項為

a1+3

2

=

-3+3

2

=0，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）得，

an+3

2n

=0+(n-1)×1，
∴a_n=（n-1）•2ⁿ-3（n∈N^*）．
∴S_n=-3+（1×2²-3）+（2×2³-3）+…+[（n-1）•2ⁿ-3]，
即S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ-3n．
設(shè)T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，
則2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹=

4(1-2n-1)

1-2

-(n-1)•2n+1，
整理得，T_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹，
從而S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹-3n（n∈N^*）．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義與數(shù)列求和，重點考查利用錯位相減法求解等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列求和，這也是高考的熱點．