Question

已知函數(shù)

（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）0.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102723362551466085/SYS201310272337183442892574_DA.files/image003.png">為的極值點(diǎn)，所以，所以得出；（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102723362551466085/SYS201310272337183442892574_DA.files/image004.png">在區(qū)間 上為增函數(shù)，所以恒成立，通過(guò)對(duì)和進(jìn)行討論；（3）將代入方程，得到，所以本題轉(zhuǎn)化成與的交點(diǎn)問題，所以通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖像，得到的取值范圍.

試題解析：(1)解：          1分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102723362551466085/SYS201310272337183442892574_DA.files/image003.png">為的極值點(diǎn)，所以         2分

即，解得：           3分

又當(dāng)時(shí)，，從而為的極值點(diǎn)成立．          4分

(2)解：∵在區(qū)間 上為增函數(shù)，

∴在區(qū)間 上恒成立．         5分

①當(dāng)時(shí)，在 上恒成立，所以在 上為增函數(shù)，

故符合題意．          6分

②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，故只能，

所以在區(qū)間 上恒成立．       7分

令，其對(duì)稱軸為           8分

∵，∴，從而在 上恒成立，只要即可，

由，解得：     9分

∵，∴．綜上所述，的取值范圍為        10分

(3)解：時(shí)，方程可化為，．

問題轉(zhuǎn)化為在 上有解                                11分

令，則                    12分

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)

故，而，故，即實(shí)數(shù)的最大值是0．      14分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)求極值；2.用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.