Question

如圖，焦距為的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為和，且與n，共線(xiàn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，

求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓方程寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出的坐標(biāo),利用兩向量共線(xiàn)的充要條件：,得與的關(guān)系，結(jié)合,解出與,求出橢圓的方程;（2）設(shè)直線(xiàn)，與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,設(shè),將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去,得到關(guān)于的方程，由兩個(gè)不同交點(diǎn)，,并且得到與,原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，為鈍角，即,整理，代入根與系數(shù)的關(guān)系，比較得出的取值范圍.

試題解析：（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，，，所以，，

因?yàn)?/span>與n，共線(xiàn)，所以， 2分

由，解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分

（2）解：設(shè)，，，，把直線(xiàn)方程代入橢圓方程，

消去，得，

所以，， 8分

，即 （*） 9分

因?yàn)?/span>原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，

所以，即， 10分

又，

由得， 13分

依題意且滿(mǎn)足（*）得

故實(shí)數(shù)的取值范圍是，. 14分

考點(diǎn)：1.橢圓的性質(zhì)與方程；2.向量共線(xiàn)的充要條件；3.直線(xiàn)與橢圓相交.