Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD是底面邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PB=

2

，PC=2．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO；由PO⊥AB，PO⊥CO證明PO⊥平面ABCD，從而證明平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．

解答： 解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO．
∵PA=PB，
∴PO⊥AB．
在△POC中，求得PO=1，CO=

3

．
又PC=2，
∴PC²=PO²+CO²，
∴PO⊥CO．
又∵AB?平面ABCD，CO?平面ABCD，AB∩CO=O，
∴PO⊥平面ABCD．
又∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則
O(0，0，0)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，

3

，0)，P(0，0，1)，
于是

PA

=(-1，0，-1)，

PB

=(1，0，-1)，

PC

=(0，

3

，-1)．
設(shè)平面APC的法向量為

m

=(x，y，z)，
則由題意，

m • PA =-x-z=0 m • PC = 3 y-z=0.

取x=1得，

m

=(1，-

3

3

，-1)．
設(shè)平面BPC的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則由題意，

n • PB =x1-z1=0 n • PC = 3 y1-z1=0.

取x₁=1得，

n

=(1，

3

3

，1)．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |• |n |

=-

1

7

，sin＜

m

，

n

＞=

4 3

7

．
所以，所求二面角的正弦值為

4 3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，及空間直角坐標(biāo)系中求二面角的大小，考查比較全面，屬于中檔題．