Question

如圖已知：平面α與平面β所成角為60°，直角三角形斜邊AB在棱l上，直角邊BC，CA在平面β內(nèi)，它們與平面α所成角分別為θ₁，θ₂．
求：sin²θ₁+sin²θ₂的值．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)點(diǎn)C作平面α的垂線(xiàn)，垂足為O，則∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，過(guò)O作l的垂線(xiàn)，垂足為G，則∠CGO=60°為二面角α-l-β的平面角，再分別表示出θ₁，θ₂與∠CGO的正弦值，并且結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到答案．
解答：解：過(guò)點(diǎn)C作平面α的垂線(xiàn)，垂足為O，則∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，
過(guò)O作l的垂線(xiàn)，垂足為G，則∠CGO=60°為二面角α-l-β的平面角，
所以sinθ₁=，sinθ₂=，sin60°=，
所以sin²θ₁+sin²θ₂=====sin²60°=．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)面角與二面角平面角的定義與作法，以及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．