Question

如圖所示，點(diǎn)A，B是圓O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，點(diǎn)D是圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，線段OD與線段AB交于點(diǎn)C．若

OC

=m

OA

+n

OB

，則m+n=

 

；若

OD

=μ

OA

+λ

OB

，則μ+λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：利用A，C，B三點(diǎn)共線，

OC

=m

OA

+n

OB

，可得m+n的值，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵A，C，B三點(diǎn)共線，

OC

=m

OA

+n

OB

，
∴m+n=1，
設(shè)∠AOD=α（0°＜α＜120°），則∠BOD=120°-α，
∵

OD

=μ

OA

+λ

OB

，
∴

OA

•

OD

=μ

OA

•

OA

+λ

OB

•

OA

，

OD

•

OB

=μ

OA

•

OB

+λ

OB

•

OB

，
∴cosα=μ-

λ

2

，cos（120°-α）=-

μ

2

+λ，
∴μ+λ=2[cosα+cos（120°-α）]=2（

1

2

cosα+

3

2

sinα）=2sin（α+30°），
∵0°＜α＜120°，
∴30°＜α+30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（α+30°）≤1，
∴μ+λ∈（1，2]
故答案為：1；（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三點(diǎn)共線，考查向量的數(shù)量積公式、輔助角公式，屬于中檔題．