Question

設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）令，（），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）的極大值為，此即為最大值；（2）≥；（3）．

【解析】

試題分析：（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)時(shí)，，

（2′）令=0，  解得．（∵）

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。所以的極大值為，此即為最大值          4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥          8分

（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082613061127882984/SYS201308261310020160621316_DA.files/image023.png">有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則．令，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082613061127882984/SYS201308261310020160621316_DA.files/image029.png">，，所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增   當(dāng)時(shí)，=0，取最小值 則既所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082613061127882984/SYS201308261310020160621316_DA.files/image029.png">，所以（*）設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082613061127882984/SYS201308261310020160621316_DA.files/image048.png">，所以方程（*）的解為，即，解得．         12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值），不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：典型題，切線的斜率，等于在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的最值確定參數(shù)的范圍。