Question

7．已知函數f（x）=3^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 分析函數的奇偶性和單調性，進而可將f（x）＞f（2x-1）化為：|x|＞|2x-1|，即x²＞（2x-1）²，解得答案．

解答 解：函數f（x）=3^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$為偶函數，
當x≥0時，f（x）=3^1+x-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$
∵此時y=3^1+x為增函數，y=$\frac{1}{{1+{x^2}}}$為減函數，
∴當x≥0時，f（x）為增函數，
則當x≤0時，f（x）為減函數，
∵f（x）＞f（2x-1），
∴|x|＞|2x-1|，
∴x²＞（2x-1）²，
解得：x∈$（{\frac{1}{3}，1}）$，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的奇偶性，函數的單調性，難度中檔．