Question

拋物線y²=4px（p＞0）的準線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點．
（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x₀，0），求證：x₀＞3p；
（2）若直線l的斜率依次為p，p²，p³，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N₁，N₂，N₃，…，當0＜p＜1時，求

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|N10N11|

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l方程為y=k（x+p），與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別大于0可求得k²的范圍，令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和y₁+y₂進而得到AB中點坐標，AB垂直平分線的方程可得，令y=0，得x₀=

k2P+2P

k2

=p+

2P

k2

．根據(jù)k的范圍進而證明原式．
（2）根據(jù)l的斜率依次為p，p²，p³時，AB中垂線與x軸交點依次為N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）可得點N_n的坐標，根據(jù)|N_nN_n+1|的表達式，進而可得答案．

解答：（1）證明：設(shè)直線l方程為y=k（x+p），代入y²=4px．
得k²x²+（2k²p-4p）x+k²p²=0．
△=4（k²p-2p）²-4k²•k²p²＞0，
得0＜k²＜1．
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k2p-4p

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2p）=

4p

k

，
AB中點坐標為（

2P-k2P

k2

，

2p

k

）．
AB垂直平分線為y-

2p

k

=-

1

k

（x-

2P-k2P

k2

）．
令y=0，得x₀=

k2P+2P

k2

=p+

2P

k2

．
由上可知0＜k²＜1，∴x₀＞p+2p=3p．
∴x₀＞3p．
（2）解：∵l的斜率依次為p，p²，p³，時，AB中垂線與x軸交點依次為N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）．
∴點N_n的坐標為（p+

2

p2n-1

，0）．
|N_nN_n+1|=|（p+

2

p2n-1

）-（p+

2

p2n+1

）|=

2(1-p2)

p2n+1

，

1

|NnNn+1|

=

p2n+1

2(1-p2)

，
所求的值為

1

2(1-p2)

[p³+p⁴++p²¹]=

p3(1-p19)

2(1-p)2(1+p)

．

點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，并綜合考查了直線與拋物線的關(guān)系．