Question

過(guò)拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)直線的傾斜角的正切值為多少時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)？

Answer 1

解：拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（-1，0），設(shè)直線MN的方程為y=k(x+1).

由得k²x²+2(k²-2)x+k²=0.

因?yàn)橹本�與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，所以Δ=4（k²-2）²-4k²·k²＞0，即k²＜1,-1＜k＜1.

設(shè)M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂),拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），因?yàn)橐跃�段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以MF⊥NF，所以=-1.即

y₁y₂+x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0,

又x₁+x₂=,

x₁x₂=1,y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁y₂同號(hào).

所以=-6.

解得k²=,所以k=±.

即直線的傾斜角的正切值為±時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).