設(shè)函數(shù)f(x)=
4x
2+4x
，
（1）用定義證明：函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）證明：對任意的實(shí)數(shù)t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)．
分析：（1）直接利用用定義，通過f（x1）-f（x2）化簡表達(dá)式，比較出大小即可證明函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)性；
（2）化簡f（t）+f（1-t），證明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末兩項的和為1，利用倒序相加法，求出f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)．
解答：解：（1）證明：設(shè)任意x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
4x1
2+4x1
-
4x2
2+4x2
=
2(4x1-4x2)
(2+4x1)(2+4x2)
，
∵x1＜x2，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），…（4分）
∴f（x）在R上是增函數(shù)                                   …（6分）
（2）對任意t，f（t）+f（1-t）=
4t
2+4t
-
4t-1
2+4t-1
=
4t
2+4t
-
4
24t+4
=
2+4t
2+4t
=1．
∴對于任意t，f（t）+f（1-t）=1                                 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(
1
2012
)+f(
2011
2012
)=1，f(
2
2012
)+f(
2010
2012
)=1，
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)+f(
2011
2012
)+f(
2010
2012
)+f(
2009
2012
)+…+f(
1
2012
)=2011，
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)=
2011
2
…（14分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，函數(shù)值的求法，考查計算能力，值域倒序相加法的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
4x+2
x2-1
-
3
x-1
(x＞1)
a-1(x≤1)
在點(diǎn)x=1處連續(xù)，則a=（　�。�
A、、
1
2
B、）
2
3
C、）
4
3
D、）
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
-4x，x≤0
x2，x＞0
，若f(a)=4，則實(shí)數(shù)a=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
4x，x∈(-∞，1]
log81x，x∈(1，+∞)
則f(
1
2
)的值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
4x-1
4x+1
（1）解不等式f(x)＜
1
3
；（2）求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
4x(x≤0)
log2x (x＞0)
，則f（f（-1））的值為（　�。�
A、2B、1C、-1D、-2

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