Question

已知，．（n∈N^*，a為常數(shù)）
（1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）在（1）條件下，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，由，知，由此能夠證明數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）由（1）知，即，由，知要證，只需證2ⁿ≥2n，由此能夠證明證：．
解答：證明：（1）∵，
∴，（1分）
∵∴，則 ，（3分）
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，（4分）
（2）由（1）知，化簡(jiǎn)得
∵，∴要證，只需證2ⁿ≥2n，（8分）
證法一：當(dāng)n=1或2時(shí)，有2ⁿ=n，
當(dāng)n≥3時(shí)，
，（10分）
∴2ⁿ≥2n對(duì)n∈N^*都成立，n=1
∴．（12分）
證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；n=k+1，（9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)結(jié)論成立，即2^k≥2k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），，（10分）
∴當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立
綜合①、②知，對(duì)n∈N^*都成立．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．