Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）要想使函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，只需函數(shù)的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，先令導(dǎo)數(shù)等于0，得到極值點(diǎn)，再判斷極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷是極大值還是極小值，再比較極小值與端點(diǎn)函數(shù)值大小即可．本題中只有一個(gè)極小值，所以極小值也是最小值，再讓最小值小于0即可．
解答：解：（1）f'（x）=x³-1，由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1．
故f（x）的單增區(qū)間為[1，+∞），單減區(qū)間為（-∞，1]．
（2）f'（x）=x³-m³∵m＞0．由f'（x）＞0得x＞m，由f'（x）＜0得x＜m．
∴f（x）在（-∞，m）上單減，在（m，+∞）上單增，故x=m時(shí)，f（x）_min=f（m）=，
要f（x）圖象與x軸有交點(diǎn)，則，解得m≥1．
故m∈[1，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值的方法，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．