Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+

2

x

在[1，3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-2e時，我們易得到函數(shù)的解析式，進而求出函數(shù)的導函數(shù)，列表討論導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+

2

x

在[1，3]上是減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此轉化為函數(shù)恒成立問題，并轉化為a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=-2e時，f′(x)=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．（2分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，

e

)；
單調遞增區(qū)間是(

e

，+∞)．
極小值是f(

e

)=0．（6分）
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

．
又函數(shù)g(x)=x2+alnx+

2

x

為[1，3]上單調減函數(shù)，
則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式2x-

2

x2

+

a

x

≤0在[1，3]上恒成立．
即a≤

2

x

-2x2在[1，3]上恒成立．（10分）
又?(x)=

2

x

-2x2在[1，3]為減函數(shù)，
所以?(x)的最小值為?(3)=-

52

3

．
所以a≤-

52

3

．（12分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，其中根據原函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．