Question

5．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F分別是A₁B₁、CC₁的中點，過D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（1）求證：EG∥D₁F；
（2）求銳二面角C₁-D₁E-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁．利用平面與平面平行的性質定理證明EG∥D₁F．
（2）以D為原點分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求出平面D₁EGF的法向量，平面C₁D₁E的法向，利用向量的數量積求解銳二面角C₁-D₁E-F的余弦值．

解答 解：（1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁．
平面D₁EGF∩平面ABB₁A₁=EG，
平面D₁EGF∩平面DCC₁D₁=D₁F，∴EG∥D₁F．（4分）
（2）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則有D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），∴$\overrightarrow{{D_1}E}=（2，1，0），\overrightarrow{{D_1}F}=（0，2，-1）$（6分）
設平面D₁EGF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
則由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0$
得$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$
取x=1，得y=-2，z=-4，所以$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-4）（8分）
又平面C₁D₁E的法向為$\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，2）$（9分）
所以，cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{0×1+0×（-2）+2×（-4）}{2×\sqrt{{1}^{2}+（=2）^{2}+（-4）^{2}}}$=-$\frac{4\sqrt{21}}{21}$
所以，銳二面角C₁-D₁E-F的余弦值為$\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$．（12分）

點評 本題考查平面與平面平行的性質定理，二面角的平面鏡的求法，考查空間想象能力以及計算能力．