Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于 ，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)P(2，3)， Q（2，-3）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動(dòng)點(diǎn)，

①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；

②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足于∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）①；②.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用橢圓中的相關(guān)定義和方程，可知.由，即可求出求解a，b，進(jìn)而求得標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）設(shè)直線方程，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，通過消元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決.①設(shè)，直線的方程為， 代入，得 由，解得，由韋達(dá)定理得. 四邊形的面積，可知當(dāng)，.②當(dāng)，則、的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為，則的斜率為，的直線方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立整理得 ，可得

同理的直線方程為，可得，，，化簡(jiǎn)即可求得的斜率為定值.

試題解析：【解析】
(1）設(shè)橢圓的方程為，則.由，得

∴橢圓C的方程為.

（2）①【解析】
設(shè)，直線的方程為， 代入，

得

由，解得

由韋達(dá)定理得. 四邊形的面積

∴當(dāng)，. …… 4分

②【解析】
當(dāng)，則、的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為

則的斜率為，的直線方程為 由

（1）代入（2）整理得

同理的直線方程為，可得

∴

所以的斜率為定值. …………12分.

考點(diǎn)：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．