Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1a_n+2=2a_n+1+2a_n（n∈N⁺），則該數(shù)列的前2015項(xiàng)的和是（　�。�

• A、7049
• B、7052
• C、14098
• D、14101

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：a_n+1a_n+2=2a_n+1+2a_n（n∈N⁺），變形（a_n+1-2）（a_n-2）=2，當(dāng)n≥2時(shí)，（a_n-2）（a_n-1-2）=2，兩式相除可得a_n+1=a_n-1，可得數(shù)列{a_n}是周期為2的周期數(shù)列．
即可得出．

解答： 解：∵a_n+1a_n+2=2a_n+1+2a_n（n∈N⁺），∴（a_n+1-2）（a_n-2）=2，當(dāng)n≥2時(shí)，（a_n-2）（a_n-1-2）=2，
∴

an+1-2

an-1-2

=1，可得a_n+1=a_n-1，
因此數(shù)列{a_n}是周期為2的周期數(shù)列．
a₁=3，∴3a₂+2=2a₂+2×3，解得a₂=4，
∴S₂₀₁₅=1007（3+4）+3=7052．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的周期性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．