Question

【題目】如圖所示的五面體中，平面平面, ,,∥，,，．

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求證：與不垂直．

Answer 1

【答案】（I）（II）見(jiàn)解析（III）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）取AD中點(diǎn)N，連接EN．可得EN⊥AD．由平面ADE⊥平面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)可得EN⊥平面ABCD．再由已知求得梯形ABCD得面積，代入棱錐體積公式求解；（Ⅱ）由AB∥CD，得CD∥平面ABFE．進(jìn)一步得到CD∥EF．再由線面平行的判定可得EF∥平面ABCD；（Ⅲ）連接MN，假設(shè)EM⊥AM．結(jié)合（Ⅰ）利用反證法證明EM與AM不垂直．

（Ⅰ）取AD中點(diǎn)，連接．

在中，，

所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，

平面ADE,

所以平面．

又因?yàn)?/span>，，所以.

因?yàn)?/span>∥，，，

所以.

所以.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>∥，平面，平面，

所以∥平面．

又因?yàn)?/span>平面，平面平面，

所以∥．

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以∥平面．

（Ⅲ）連接，假設(shè).

由（Ⅰ）知平面，

因?yàn)?/span>平面,所以．

因?yàn)?/span>, 且，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，

所以．

在△中，，

所以.

所以．

這與矛盾．

所以假設(shè)不成立，即與不垂直．