Question

(2014·武漢模擬)已知點P是圓M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一動點,點N(0,m)是圓M所在平面內(nèi)一定點,線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q.

(1)當(dāng)P在圓M上運動時,記動點Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過原點斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點,其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點C,直線BC交曲線Г于另一點D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

（1）雙曲線 -=1

（2）存在，m=

【解析】(1)因為|QN|=|QP|,

所以||QM|-|QN||=|PM|=2.

①當(dāng)2<2m時,動點Q的軌跡曲線Г為以點M,N為焦點,2a=2為實軸的雙曲線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

②當(dāng)2>2m時,動點Q無軌跡.

(2)如圖所示,

設(shè)A(x1,y1),D(x0,y0),則B(-x1,-y1),C(x1,0).

則y1=kx1.

直線BC的方程為y=(x-x1),即y=(x-x1).

聯(lián)立化為(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2-8)=0.

所以-x1+x0=,

所以k′==

=-.

若存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1,

則=1,

整理得m2=6,解得m=±(負(fù)值舍去).

因此存在m,且當(dāng)m=時,滿足題意.