Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-

1

2

，

3

2

]
（1）當θ=

π

6

時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-

1

2

，

3

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題目條件，可以確定函數(shù)的解析式 f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在 x∈[-

1

2

，

3

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，利用對稱軸與給定區(qū)間的關系，求出-sinθ≤-

1

2

即可得到θ的取值范圍．

解答：解（1） θ=

π

6

時，f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

由 x∈[-

1

2

，

3

2

]，當 x=-

1

2

時，f（x）有最小值為 -

5

4

當x=

3

2

時，函數(shù)f（x）有最大值

3

2

-

1

4

（7分）
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的圖象的對稱軸為x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-

1

2

，

3

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，則-sinθ≤-

1

2

（11分）
又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范圍是 θ∈[

π

6

，

5π

6

]（14分）

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，利用配方求得其對稱軸，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題，是個中檔題．