Question

四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分別是BC、PE的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE，由等腰三角形三線合一，及OE∥AB，可得OE⊥AD，又由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，我們易得到AD⊥平面OPE．再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到AD⊥PE；
（2）有兩種解法，一是取OE的中點(diǎn)F，連接FG，OG，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們易得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE即可得到答案；二是建立空間坐標(biāo)系，確定各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，及平面ADE及平面ADG的法向量，然后代入向量夾角公式，我們易求出二面角E-AD-G的余弦值，進(jìn)而求出二面角E-AD-G的正切值．
解答：證明：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE∵PA=PD，∴OP⊥AD又E是BC的中點(diǎn)，
∴OE∥AB，∴OE⊥AD．又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE
（2）
解法一：
取OE的中點(diǎn)F，連接FG，OG，則由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角
∵PA=PD，∠APD=60°，∴△APD為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2
∴OP=，，，∴
∴
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，），E（0，2，0）
∴．設(shè)平面ADG的法向量為n=（x，y，z）
由，得
∴又平面EAD的一個(gè)法向量為
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224428859651715/SYS201311012244288596517018_DA/11.png">=
則，
∴二面角E-AD-G的正切值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及用空間向量求平面間的夾角，其中求二面角的值時(shí)，一是幾何法，關(guān)鍵是找到二面有的平面角，二是向量法，關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量．