Question

如圖，G為△OBC的重心，PQ為過重心的直線，交OB與OC于P，Q點．
①用

OP

，

OQ

表示

OG

；
②若

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，求證

1

x

+

1

y

為定值．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：①由于點P、G、Q三點共線，利用向量共線定理可得：存在實數(shù)λ使得

PG

=λ

GQ

．化簡即可得出．
②利用①的結論和重心定理、向量的平行四邊形法則即可得出．

解答： ①解：∵點P、G、Q三點共線，∴存在實數(shù)λ使得

PG

=λ

GQ

．
∴

OG

-

OP

=λ(

OQ

-OG)，
化為

OG

=

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

.(λ∈[

1

2

，2])．
②證明：∵

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，
∴

OG

=

x

1+λ

OA

+

λy

1+λ

OB

，
又

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
∴

x

1+λ

=

1

3

，

λy

1+λ

=

1

3

．
∴

1

x

+

1

y

=

3

1+λ

+

3λ

1+λ

=3為定值．

點評：本題考查了向量共線定理、重心定理、向量的平行四邊形法則等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．