Question

在數(shù)列中，，且.

(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；

(Ⅱ) 設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)，都有；

 

Answer 1

【答案】

（1），， 利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）---（9分）

所以所以只需要證明

（顯然成立）

【解析】

試題分析：（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，-----------------（3分）

假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即

，--------------------------（4分）

那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：

   （6分）

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立。 （7分）

（2）---（9分）

所以

------（11分）

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有    （14分）

考點(diǎn)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)首先要驗(yàn)證時(shí)成立,注意不一定為1;

(2)在第二步中,關(guān)鍵是要正確合理地運(yùn)用歸納假設(shè),尤其要弄清由k到k+1時(shí)命題的變化