Question

5．設數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁₁=$\frac{π}{2}$，若f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，記b_n=f（a_n），則數(shù)列{b_n}的前21項和為21．

Answer 1

分析 由f（x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1，可知f（x）關于$（\frac{π}{2}，1）$中心對稱．又數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=$f（\frac{π}{2}）$=1，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1．
可知f（x）關于$（\frac{π}{2}，1）$中心對稱，
又數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=$f（\frac{π}{2}）$=1，
故{b_n}的前21項的和S₂₁=$\frac{21（f（{a}_{1}）+f（{a}_{21}））}{2}$=21f（a₁₁）=21．
故答案為：21．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．