Question

重慶Z中學為籌備參加“漢字聽寫比賽”，對初二年級的400名同學進行了一次摸底聽寫比賽，每位同學聽寫150個字，聽寫正確130個字以上（含130個）的同學才可以參加市級決賽．
（Ⅰ）根據(jù)頻率頒布直方圖，該�？梢詤⒓邮屑墰Q賽的同學有多少人？假設同一組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估算這400名同學平均聽寫正確的字數(shù)；
（Ⅱ）重慶Z中學在可以參加市級決賽的同學中派1人參加市決賽，按決賽規(guī)定：每人最多有5次聽寫機會，累計聽寫正確3個字或聽寫錯誤3個字即終止，設參加決賽的這名同學每個字聽寫正確的頻率相同，且相互獨立，若該同學連續(xù)兩次聽寫錯誤的概率是

1

9

，求該同學在決賽中聽寫正確的字數(shù)X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由頻率分布直線圖求出聽寫正確130個字以上（含130個）的同學的頻率為，由此能求出該�？梢詤⒓邮屑墰Q賽的同學的個數(shù)．由頻率分布直方圖能求出這400名同學平均聽寫正確的字數(shù)．
（2）由已知得ξ=0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得聽寫正確130個字以上（含130個）的同學的頻率為：
0.00250×20=0.05，
∴該�？梢詤⒓邮屑墰Q賽的同學有0.05×40=2人．
這400名同學平均聽寫正確的字數(shù)：
（0.00125×40+0.00150×60+0.00250×140+0.00925×80+0.011×120+0.245×100）×20=100．
（2）由已知得ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=（

1

3

）³=

1

27

，
P（ξ=1）=3×（

1

3

）³×

2

3

=

2

27

，
P（ξ=2）=6×(

2

3

)2×(

1

3

)3=

8

81

，
P（ξ=3）=（

2

3

）³+3×

1

3

×(

2

3

)3+6×(

1

3

)2×(

2

3

)3=

64

81

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 27	8 81	64 81

∴Eξ=0×

1

27

+1×

2

27

+2×

8

81

+3×

64

81

=

214

81

．

點評：本題考查頻率直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．