Question

已知函數(shù)f（x）=（ax-1）（x+1）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

（Ⅰ）當a=l時，f（x）=（x-1）（x+1）=x²-1，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值為f（0）=-1…（2分）
f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（2）=3…（3分）
故f（x）在區(qū)間[-1，2]上的值域為[-1，3]…（4分）
（Ⅱ）當a=0時，f（x）=-x-1，在區(qū)間[-1，+∞）上是減函數(shù)，符合題意…（5分）
當a≠0時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上是減函數(shù)，
則a＜0，且

1

a

≤-1，…（7分）
所以-1≤a＜0，…（9分）
所以a的取值范圍是[-1，0]
（Ⅲ）由已知，解不等式（ax-1）（x+1）＜0．
當a=0時，可解得x＞-1，解集為{x|x＞-1} …（10分）
當a＞0時，不等式可化為（x-

1

a

）（x+1）＜0，解得-1＜x＜

1

a

，解集為{|-1＜x＜

1

a

 } …（11分）
當a＜0時，不等式可化為（x-

1

a

）（x+1）＞0，
若

1

a

=-1，即a=-1時，x≠-1，解集為{x|}x≠-1；                   …（12分）
若

1

a

＞-1，即a＜-1時，x＜-1或x＞

1

a

，解集為{x|x＜-1或x＞

1

a

 }           …（13分）
若

1

a

＜-1，即-1＜a＜0時，x＜

1

a

或x＞-1，解集為{x|x＜

1

a

或x＞-1 }         …（14分）