Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，求得a的值，再利用切點P（2，f（2）在直線y=3x+1上，可得b的值，從而，可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調性．

解答：解：（Ⅰ）求導函數(shù)可得f′(x)=1-

a

x2

，由導數(shù)的幾何意義得f′（2）=3，即1-

a

4

=3
∴a=-8．
由切點P（2，f（2）在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x-

8

x

+9．
（Ⅱ）求導函數(shù)可得f′(x)=1-

a

x2

．
當a≤0時，∵x≠0，∴f′（x）＞0，這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）內是增函數(shù)．
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=±

a

．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	(- a ，0)	（0， a ）	a	( a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以，f（x）在（-∞，-

a

），(

a

，+∞)內是增函數(shù)，在(-

a

，0)，（0，

a

）內是減函數(shù)．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．