Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）求實(shí)數(shù)a、b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，可得f（0）=0，再根據(jù)f（

1

2

）=

2

5

，列出關(guān)于a，b的方程組，求出即可得解析式；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）作差與0比較，從而證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

，-ax+b=-ax-b，
∴b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．
∴f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（

1

2

）=

2

5

，
∴

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

解得a=1，
∴f（x）=

x

x2+1

（2）f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
證明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₁-x₂0，x12+1＞0，  x22+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的解析式、函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性的證明，函數(shù)單調(diào)性的證明要注意作差后化簡到能直接判斷符號為止．