Question

【題目】設函數(shù)G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．
（1）求G（x）的最小值：
（2）記G（x）的最小值為e，已知函數(shù)f（x）=2aex+1+ ﹣2（a+1）（a＞0），若對于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得

令G'（x）＜0，得 ；令G'（x）＞0，得 ，

所以G（x）的單調減區(qū)間為 ，單調增區(qū)間為

從而

（2）解：由（1）中c=﹣ln2得

所以

令g（x）=ax2ex﹣（a+1），則g'（x）=ax（2+x）ex＞0

所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

因為g（0）=﹣（a+1），且當x→+∞時，g（x）＞0，

所以存在x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，

且f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增

因為 ，所以 ，

即 ，因為對于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，

所以

所以 ，即 ，

亦即 ，所以

因為 ，所以 ，

又x0＞0，所以0＜x0≤1，從而 ，

所以 ，故

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最小值，結合題意從而求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．