Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)，C₂：

x=6cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）C₁、C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C₁上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)t=

π

2

，Q為C₂上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：

x=-3 3 + 3 t y=-3-t

（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把所給的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)，化為普通方程．由普通方程判斷表示的曲線．
（2）設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），由中點(diǎn)公式求得M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M到直線C₃ 的距離為  d=

|3cosθ-2+ 3 (sinθ+2)+6 3 |

2

=|

3

sin(θ+

π

3

)+4

3

-1|，當(dāng)sin（θ+

π

3

）=-1時等號成立，即d取得最小值．

解答： 解：（1）對于曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)t，可得 （x+4）²+（y-3）²=1；表示以（-4，3）為圓心，1為半徑的圓；
對于曲線 C₂：

x=6cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)θ，可得

x2

36

+

y2

4

=1．表示焦點(diǎn)在x軸上的一個橢圓．
（2）若C₁上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，4），
設(shè)Q（6cosθ，2sinθ）為C₂上的動點(diǎn)，則PQ中點(diǎn)M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．
 直線C₃：

x=-3 3 + 3 t y=-3-t

（t為參數(shù)）即 x+

3

y+6

3

=0．
∴點(diǎn)M到直線C₃：x+

3

y+6

3

=0的距離為 d=

|3cosθ-2+ 3 (sinθ+2)+6 3 |

2

=|

3

sin(θ+

π

3

)+4

3

-1|≥3

3

-1．
當(dāng)sin（θ+

π

3

）=-1時等號成立；所以d的最小值為3

3

-1

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，中點(diǎn)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，輔助角公式、正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．