已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),不等式f(x)+2<0的解集為,且對任意的a,β∈R,恒有f(sinα)≤0,f(2+cosβ)≥0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),在(2)的條件下,若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求數(shù)列{Sn•cos(bnπ)}的前n項(xiàng)和Tn
【答案】分析:(1)由不等式的解集設(shè)出f(x)+2的兩根式,對角α,β取特值后得到f(1)=1,由此可取函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求出f(an+1),f(an),代入已知的等式中化簡得到數(shù)列{}為等差數(shù)列,求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式后可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)由,求出cos(bnπ),然后分n為偶數(shù)和奇數(shù)討論求解數(shù)列{Sn•cos(bnπ)}的前n項(xiàng)和Tn
解答:解:(1)設(shè)f(x)+2=,即
,代入f(sinα)≤0,f(2+cosβ)≥0,則f(1)≤0,f(1)≥0同時成立,
故f(1)=0,解得a=,故;
(2)∵=
∴3=
.故數(shù)列{}為等差數(shù)列.
,∴,;
(3)∵bn=3n-2,∴
,∴
①當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn=(-S1+S2)+(-S3+S4)+…+(-Sn-1+Sn
=
②當(dāng)n為奇數(shù)時,

綜上,
點(diǎn)評:本題考查了一元二次不等式的解法,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,考查了數(shù)列的遞推式及數(shù)列的和,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查了學(xué)生綜合處理和解決問題的能力,是有一定難度題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)為二次函數(shù),若y=f(x)在x=2處取得最小值-4,且y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)y=f(log
1
2
x)
在區(qū)間[
1
8
,2]
上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),不等式f(x)+2<0的解集為(-1,
1
3
)
,且對任意的a,β∈R,恒有f(sinα)≤0,f(2+cosβ)≥0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=1,3an+1=1-
1
f(an+1)-f(an)-
3
2
(n∈N*)
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=
1
an
,在(2)的條件下,若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求數(shù)列{Sn•cos(bnπ)}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3},且f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值是4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x+5-f(x),若對任意的x∈(-∞,-
3
4
]
,g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]
均成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對任意x∈(0,+∞),恒有f(kx)=kf(x)(k≥2,k∈N*)成立,則稱f(x)為k階縮放函數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,2]時,f(x)=1+log
1
2
x
,求f(2
2
)
的值;
(2)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,2]時,f(x)=
2x-x2
,求證:函數(shù)y=f(x)-x在(1,8)上無零點(diǎn);
(3)已知函數(shù)f(x)為k階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,k]時,f(x)的取值范圍是[0,1),求f(x)在(0,kn+1](n∈N)上的取值范圍.

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