Question

已知二面角α-PQ-β為60°，點A和B分別在平面α和平面β內(nèi)，點C在棱PQ上∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a．
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）求點B到平面α的距離；
（3）設(shè)R是線段CA上的一點，直線BR與平面α所成的角為45°，求CR的長．

Answer 1

分析：（1）作BM⊥PQ于M，連接AM，根據(jù)∵∠ACP=∠BCP=30°求得CA=CB進而判斷出△MBC≌△MAC，進而可知AM⊥PQ，根據(jù)線與面垂直的定義可知PQ⊥平面ABM，AB?平面ABM．
（2）作BN⊥AM于N，根據(jù)PQ⊥平面ABM可推知BN⊥PQ，進而可知BN⊥α，BN是點B到平面α的距離，進而根據(jù)BN=BMsin60°求得BN．
（3）連接NR，BR，根據(jù)BN⊥α可知BR與平面α所成的角為∠BRN=45°，進而求得RN和CM，判斷出RN=

1

2

CM，根據(jù)∠BMA=60°，進而判斷，△BMA為正三角形，N是BM中點，進而可知R是CB中點，答案可得．

解答：證明：（1）作BM⊥PQ于M，連接AM，
∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，
∴△MBC≌△MAC，∴AM⊥PQ，PQ⊥平面ABM，AB?平面ABM，
∴AB⊥PQ．
解：（2）作BN⊥AM于N，
∵PQ⊥平面ABM，∴BN⊥PQ，
∴BN⊥α，BN是點B到平面α的距離，由（1）知∠BMA=60°，
∴BN=BMsin60°=CBsin30°sin60°=

3 a

4

．
∴點B到平面α的距離為

3 a

4

．
（3）連接NR，BR，∵BN⊥α，BR與平面α所成的角為∠BRN=45°，
RN=BN=

3 a

4

，CM=BCcos30°=

3 a

2

，
∴RN=

1

2

CM，∵∠BMA=60°，BM=AM，△BMA為正三角形，
N是BM中點，∴R是CB中點，∴CR=

a

2

．

點評：本題考查了點、線、面間的距離計算．求點B到平面α的距離關(guān)鍵是尋找點B到α的垂線段．