Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)b_n=，求證：b₁+b₂+…+b_n＜6．

Answer 1

（1）證明：∵a_n+1=a_n+1，∴a_n=a_n-1+1
兩式相減可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
整理可得，
∴數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）解：∵a₁=1，a_n+1=a_n+1，∴a₂=3a₁+1=4
∴
∴數(shù)列{}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列
∴=n，
∴a_n=n²；
（3）證明：n≥2時，b_n===＜=4（）
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+4[（1-）+（）+…+（）=2+4（）＜6．
分析：（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減整理可得，即可得到數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）確定數(shù)列{}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）對通項放縮，再裂項求和，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．